160105M(화)

Math

 

실수와 복소수

 

연산에 대해서 닫혀있다

집합 X의 임의의 두 원소를 택하여 어떤 연산을 행하여 얻은 결과가 반드시 그 집합 X의 한 원소가 될 때, 집합 X는 그 연산에 대하여 닫혀있다고 한다.

 

항등원

집합 X가 연산 *에 대하여 닫혀 있을 때, X의 임의의 원소 a에 대하여

a * e = e * a = a (항상 자기자신)

를 만족시키는 원소 e (e∈X)를 연산 *에 대한 항등원이라 한다.

 

덧셈에 대한 항등원

a + e = e + a = a

e = 0

 

곱셈에 대한 항등원

a * e = e * a = a

e = 1

 

주어진 연산에 대하여 교환법칙이 성립할 때에만 a * e = a를 만족하는 항등원 e를 구한다.

 

역원

집합 X가 연산 *에 대하여 닫혀 있고, e(e∈X)가 연산 *의 항등원일 때, X의 한 원소 a에 대하여

a * x = x * a = e (연산 *에 대한 항등원)

를 만족시키는 x(x∈X)를 연산 *에 대한 a의 역원이라 한다.

 

덧셈에 대한 역원

a + x = x + a = 0

x = -a

 

곱셈에 대한 역원

a * x = x * a = 1

x = 1/a

 

절대값

수직선 위에서 어떤 실수 a에 대응하는 점과 원점 사이의 거리

 

|a| = a (a >= 0)

|a| = -a (a < 0)

이것에 대해서 솔직히 아직도 이해가 잘 되지 않는다.

위에서 거리라고 했으면서 -a가 나올 수 있단 말인가?

또한 |-5| = 5 라고 한다.

 

내가 생각해본 바로는 a라는것을 문자 그대로의 a로 보는 듯하다.

즉, a라는 문자 자체가 음수이므로 절대값에 대해 거리가 리턴된 값에 음수가 붙는다고 이해하였다.

 

복소수

a, b가 실수일 때 a + bi꼴로 나타내어지는 수

a : 실수부분

b : 허수부분

a = 0, b != 0 이면 bi를 순허수라고 한다.

 

허수

1. 제곱해서 -1이 되는 수 √-1을 i로 나타내고 이 수를 허수(imaginary number) 단위라고 한다.

2. a > 0 일 때, √-a = (√a)i

 

i = √-1

i^2 = -1

i^3 = -i

i^4 = 1

i^5 = i

i^6 = -1

...

 

켤레복소수

허수부분의 부호를 바꾸어 놓은 복소수

        

a + bi = a - bi

 

켤레복소수끼리 더하거나 곱하면 결과는 항상 실수이다.

 

허수는 대, 소, 양, 음의 관계를 말할 수 없다.

(순허수)^2 < 0

 

모든수는 복소수로 나타낼 수 있다.

실수 a (a + bi, b = 0)